Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у произведения» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального минимума функции

$y = sin (πx ) ⋅ cos(πx )$ , лежащую на $[ ] 1- 1- − 3; 6$ .

1) $y′ = πcos2(πx ) − π sin2(πx) = π (cos2(πx ) − sin2(πx )) = π cos(2πx )$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

π cos(2πx) = 0 ⇔ cos(2πx) = 0,

откуда находим $π 2πx = --+ πk 2$ , где $k ∈ ℤ$ , что равносильно $1 k x = --+ -- 4 2$ , где $k ∈ ℤ$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ (их бесконечно много, но они чередуются):

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на отрезке $[ 1 1] − -; -- 3 6$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[ ] − 1; 1 3 6$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 0, 25$ – точка локального минимума функции $y$ на отрезке $[ ] 1-1- − 3;6$ .