Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у произведения» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите точку локального минимума функции

$√ -- y = x x − 60x + 3600$ .

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = √x-+ -√x--− 60 2 x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√ -- -x--- √ -- x + 2√ x − 60 = 0 ⇔ x = 40

– при $x ⁄= 0$ , откуда находим $x = 1600$ . Производная функции $y$ не определена при $x ≤ 0$ , но $x < 0$ не входят ОДЗ, а $x = 0$ не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1600$ – точка локального минимума функции $y$ .