Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у элементарных функций» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального максимума функции

$y = x3 − 15x2 + 48x + e$ .

1) $y′ = 3x2 − 30x + 48 = 3(x2 − 10x + 16)$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 3 (x − 10x + 16) = 0 ⇔ x − 10x + 16 = 0,

откуда находим $x = 2, x = 8 1 2$ . Таким образом,

y′ = 3(x − 2)(x − 8).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 2$ – точка локального максимума функции $y$ .