Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у частного» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите точку локального максимума функции

$3x2-+-1875- y = x$ .

ОДЗ: $x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

′ 6x2 −-(3x2 +-1875)- 3x2-−-1875- x2-−-625- y = x2 = x2 = 3 ⋅ x2 .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2 − 625 3 ⋅-----2--- = 0 ⇔ x2 − 625 = 0,x ⁄= 0 x

– на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = 25, x2 = − 25$ . Производная функции $y$ не существует при $x = 0$ , но $x = 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

′ (x-−-25-)(x-+-25-) y = 3 ⋅ x2 .

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 25$ – точка локального максимума функции $y$ .