Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на первом заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $t$ единиц продукции. Если на втором заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $2t$ единиц продукции. Заработная плата на обоих заводах для одного рабочего составляет $300$ рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в день оба завода, если на зарплату в день рабочим выделяется $2166000$ рублей.

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции; пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $2p$ продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины $T = t + 2p$ . Так как заработная плата в час составляет $300$ рублей, то $2 2 2166000 = 300(t + p )$ .
Выразим $t = T − 2p$ и подставим в уравнение:

2166000 = 300((T − 2p)2 + p2) ⇔ 5p2 − 4Tp + T 2 − 7220 = 0

Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

2 2 2 D = 16T − 4 ⋅ 5 (T − 7220) = 4 ⋅ 5 ⋅ 7220 − 4T ≥ 0

Отсюда получаем, что $T 2 ≤ 5 ⋅ 7220 = 52 ⋅ 22 ⋅ 192$ , следовательно, $T ∈ [0; 190]$ (учитывая, что $T ≥ 0$ , так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное $T$ – это $T = 190$ .
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для $t$ и $2p$ (так как это количество продукции).
При $T = 190$ дискриминант $D = 0$ , следовательно,

4 ⋅ 190 p = --2 ⋅ 5-= 76 ⇒ 2p = 152 ⇒ t = 190 − 152 = 38.

Таким образом, проверка удалась и ответом является $T = 190$ .