Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №8

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y2$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

В сумме в каждой области имеется 200 человеко-часов труда. Заметим, что в первой области производительность алюминия и никеля одинаковая.

В первой области суммарно в день можно произвести максимум 40 кг металла.

Если $x2$ и $y2$ — количество человеко-часов, затраченных во второй области на производство алюминия и никеля соотвественно, то $x2+ y2 = 200$ и во второй области производится $√------- x + 200− x2$ кг металла.

Заметим, что вне зависимости от того, сколько кг алюминия и никеля будет произведено во второй области, мы сможем в таких пропорциях произвести никель и алюминий в первой области, что суммарная масса алюминия в обеих областях и суммарная масса никеля в обеих областях будут одинаковыми. Например, если во второй области произвели $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля, то в первой области можно произвести $((40+ x+ y):2− x)$ кг алюминия и $((40+ x+ y):2− y)$ кг никеля. При этом оба выражения заведомо положительны, поскольку $x$ и $y$ принимают значения не более $√ --- 200.$

Пример в числах: если во второй области произведут 3 кг алюминия и 5 кг никеля, то в первой области нужно произвести 21 кг алюминия и 19 кг никеля. Тогда у нас не останется лишнего алюминия или никеля при производстве сплава, так как пропорции алюминия и никеля для производства сплава одинаковы.

Следовательно, наибольшее количество сплава будет произведено тогда, когда во второй области суммарная масса произведенных металлов будет наибольшей.

Следовательно, нужно найти наибольшее значение выражения

f(x)= x+ ∘200-−-x2

Найдем производную:

′ ----x---- f = 1− √ 200− x2

Тогда $′ f = 0 ⇒ x = 10.$

$x= 10$ — точка максимума функции $f(x),$ следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно

∘ -------- f(10)= 10 + 200− 102 = 20

Таким образом, всего в обеих областях будет произведено $20+ 40 = 60$ кг металлов, из которых получится сплав массой 60 кг.

В этом случае во второй области произведут 10 кг алюминия и 10 кг никеля, тогда в первой области произведут 20 кг алюминия и 20 кг никеля.