Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №7

Мебельная фирма производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется $1 м2 3$ древесно-стружечной плиты, $8 м2 3$ сосновой доски и $1 3$ человеко-часа. Аналогичные данные для серванта даются числами: $1 м2 2$ древесно-стружечной плиты, $3 м2$ сосновой доски и 1 человеко-час.

Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 6000 рублей, от серванта — 16000 рублей. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются $45 м2$ древесно-стружечной плиты, $330 м2$ сосновых досок и 80 человеко-часов.

Какова максимальная ожидаемая месячная прибыль? Ответ дайте в млн рублей.

Пусть в течение месяца изготовили $y$ шкафов и $x$ сервантов. Тогда прибыль в тыс. рублей составит $P = 6y+ 16x$ . Так как на изготовление шкафов и сервантов не может быть потрачено больше плит, досок и человеко-часов, чем имелось, то должно быть выполнено:

( 1 1 ||||y ⋅3 + x ⋅2 ≤ 45 ( |{ 8 |{2y+ 3x≤ 270 ||y ⋅3 + x ⋅3 ≤ 330 ⇔ |(8y+ 9x≤ 990 |||( 1 y+ 3x ≤240 y ⋅3 + x ≤80

Следовательно, при выполнении этих условий (системы) необходимо найти наибольшее значение для $P$ .

Графиком данной системы является область с границей, изображенная на рисунке (учитывая, что $x,y ≥ 0$ , так как это количество изделий):

$PIC$

Причем сразу заметим, что $x,y$ также должны принимать только целые значения.
Таким образом, необходимо найти такую точку из данной области, в которой значение функции $P(x,y) =6y +16x$ будет наибольшим.

1) Докажем сначала, что наибольшее значение функция $P$ будет принимать точно на границе $CABD$ области.
Действительно, возьмем точку $Q(x;y)$ внутри области (или на $CO,OD$ ). Заметим, что при увеличении $x$ или $y$ значение функции $P$ будет увеличиваться.
Так как $Q$ находится внутри области, то все точки, находящиеся на отрезках $QQx$ и $QQy$ ( $QQx ∥ Ox$ , $QQy ∥ Oy$ ), а также между этими отрезками и границей области, будут иметь большие координаты по $x$ или по $y$ , чем $Q$ . Следовательно, в них значение функции $P(x,y)$ будет больше, чем в точке $Q$ . Таким образом, для любой точки внутри области найдется всегда точка на границе, в которой значение функции $P$ будет больше.
Следовательно, будем искать точку, в которой значение $P$ максимально, на границе $CABD$ .

2) Заметим, что эта граница области разбивается на отрезки: $CA, AB,BD$ .
Найдем координаты точек $A,B, C,D$ : $A (30;90)$ , $B(70;30)$ , $( 495) C 0;-4-$ , $D(80;0)$ .
Рассмотрим каждый из отрезков по отдельности.

Отрезок $CA$ .
Это часть прямой $8y +9x = 990$ при $y ∈ [90; 495] 4$ . Выразим $x = 110 − 8y 9$ и подставим в $P$ :

P = 1760− 74y ≤ 1760 − 74-⋅90= 1020. 9 9

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1020$ тыс. рублей.

Отрезок $AB$ .
Это часть прямой $2y +3x = 270$ при $y ∈ [30;90]$ . Выразим $2 x =90 − 3y$ и подставим в $P$ :

14 14- P = 1440− 3 y ≤ 1440 − 3 ⋅30= 1300.

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1300$ тыс. рублей.

Отрезок $BD$ .
Это часть прямой $y +3x = 240$ при $x∈ [70;80]$ . Выразим $y = 240 − 3x$ и подставим в $P$ :

P = 1440 − 2x ≤ 1440 − 2 ⋅70 = 1300.

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1300$ тыс. рублей.

Таким образом, наибольшее значение $P$ достигается на отрезках $AB$ и $BD$ , а именно в точке с координатами $x = 70$ и $y = 30$ .
Следовательно, в млн. рублей наибольшая прибыль равна 1,3.