Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №6

Просмотров 7 Комментарии 0

Компания изготавливает и продает изделия. Если одно изделие стоит 2000 рублей, то реализуется 1000 штук изделий. При снижении средней цены одного изделия на 50 рублей объемы реализации возрастают на 50 штук. При какой цене фирма получит максимальный доход и каково его значение?

Пусть цена изделия снижалась $k$ раз. Тогда цена изделия равна $2000− 50k$ рублей, а количество изготовленных изделий равно $1000+ 50k.$ Тогда доход фирмы равен

2 D (k) =(1000+ 50k)(2000− 50k) =50 (20+ k)(40− k)

Нужно найти наибольшее значение функции $D(k).$ Заметим, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине $k0 = 10.$ Тогда максимальный доход в рублях равен

2 Dmax = 50(20+ 10)(40− 10)= 2250000

При этом цена изделия в рублях равна

2000 − 50 ⋅10 = 1500