Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство.

При этом через год эффективность инвестирования ожидается в размере 250%, то есть вложенная в производство сумма $x$ млн рублей оборачивается в капитал $2,5x$ млн рублей. После этого отчисляются деньги на издержки производства, которые задаются квадратичной зависимостью $0,0022x2$ млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%.

Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?

Пусть в банк было вложено $A$ млн рублей, а в производство — $B$ млн рублей. Тогда $A + B = 400.$

Через год на счету в банке будет $1,12A$ млн рублей, а вложенная в производство сумма обернется в $2,5B$ млн рублей. На издержки отдадут $0,0022B2$ млн рублей, тогда останется $2,5B − 0,0022B2$ млн рублей. Эта сумма облагается налогом в 20%, то есть остается от этой суммы только 80%, или $0,8⋅(2,5B − 0,0022B2).$

Таким образом, доход по истечении одного года будет равен

2 P = 1,12A+ 0,8 ⋅(2,5B− 0,0022B )

Необходимо найти максимальное значение этого выражения, зная, что $A + B =400.$ Тогда прибыль будет равна $P − 400.$ Выразим $A = 400− B$ и подставим в выражение для $P :$

P = −0,8⋅0,0022B2+ 0,88B + 448

Данная функция является квадратичной, ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, максимальное значение функция принимает в вершине параболы:

----−-0,88----- B0 = 2⋅(−0,8⋅0,0022) = 250

Следовательно, при $B = 250$ и $A = 150$ выражение $P$ принимает наибольшее значение $P(250)= 558.$ Тогда максимальная прибыль равна $558− 400= 158$ млн рублей.