Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $t$ товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $2t$ товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн рублей.

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции. Пусть на втором заводе рабочие трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $2p$ товаров. Тогда по условию $600 = t+2p.$ Так как заработная плата в час составляет $300$ рублей, то сумма, которую должен заплатить Александр в неделю на зарплату рабочим, равна

2 2 A = 300(t + p )

Выразим $t= 600− 2p$ и подставим в выражение для зарплаты:

2 2 A = A(p)= 300(5p − 4⋅600⋅p+ 600 )

Таким образом, необходимо найти минимальное значение функции $A(p),$ если $2p$ — целое неотрицательное число товаров. При этом $2p$ не превышает 600, так как иначе количество товаров $t$ будет отрицательным.

Заметим, что $A (p)$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке

4⋅600 p0 = 2⋅5 =240

Следовательно, $p0$ и есть точка минимума, причем $2p0 ∈[0;600]$ — подходит. Следовательно, при $p = 240$ значение функции будет наименьшим. Тогда имеем:

t= 600 − 2p = 600 − 480 =120

Таким образом, наименьшая сумма в рублях равна

2 2 Amin = 300⋅(240 +120 )= 21600000