Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №2

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местных радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000$ в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5$, а каждая минута телерекламы – в 100$. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения, но при этом фирма решила, что время радиорекламы не должно превышать двух часов. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой, если время можно покупать только поминутно.

Способ 1.

Пусть фирма купила $y$ минут радиорекламы и $x$ минут телерекламы. Тогда из условия следует, что

( |{ 5y+ 100x≤ 1000 |( y ≥ 2x y ≤ 120

Если обозначить за 1 количество сбыта с одной минуты радиорекламы, то $F = 25x + y$ — количество сбыта с $y$ минут радио- и $x$ минут телерекламы. Следовательно, нужно найти такие $x ≥ 0$ и $y ≥ 0,$ чтобы значение $F$ было наибольшим, причем $x$ и $y$ должны удовлетворять системе.

Изобразим область, которую задает данная система:

$PIC$

Полученная область — четырехугольник $ABCD$ с границей. Таким образом, нужно найти точку из данной области, в которой значение $F$ будет наибольшим.

Докажем, что эта точка будет находиться на отрезке $BC.$ Заметим, что чем больше $x$ и $y,$ тем больше значение $F.$ Заметим также, что если взять любую точку, находящуюся внутри области, на $AD$ или на $AB,$ то при перемещении этой точки вправо параллельно оси $Ox$ ее абсцисса будет увеличиваться, ордината оставаться прежней, следовательно, значение $F$ также будет увеличиваться. Таким образом мы дойдем до границы — ломаной $BCD.$

Рассмотрим отрезок $CD.$ При движении точки по отрезку от $D$ к $C$ значение обеих координат точки будет увеличиваться, следовательно, значение $F$ будет увеличиваться. Таким образом, среди всех точек отрезка $CD$ наибольшее значение $F$ будет принимать в точке $C.$

Значит, наибольшее значение $F$ принимает в точке, находящейся на отрезке $BC.$

$PIC$

Найдем абсциссы точек $B$ и $C.$ Для этого нужно найти абсциссы точек пересечения прямых $y = 200− 20x, y = 120$ и прямых $y = 200 − 20x, y = 2x.$ Следовательно, абсцисса точки $B$ — это $xb = 4,$ абсцисса точки $C$ — это $xc = 100. 11$ Значит, отрезок $BC$ задается уравнением $y = 200− 20x,$ $x∈ [4; 100]. 11$

Подставим $y$ в выражение для $F$ :

F = 25x+ 200− 20x = 200+ 5x

Данная функция принимает наибольшее значение при наибольшем значении $x.$ Вспомним, что $x$ к тому же должен быть целым неотрицательным. Так как $x∈ [4; 100], 11$ то наибольший такой $xmax = 9,$ так как $100-= 9 1. 11 11$ Следовательно,

ymax = 200 − 20⋅9 = 20

Тогда стоимость радиорекламы составит $5⋅20= 100$ долларов и стоимость телерекламы составит $100 ⋅9= 900$ долларов.

Способ 2.

Из неравенства $5y+ 100x≤ 1000$ следует, что $y ≤ 200− 20x.$ Тогда можем оценить функцию сбыта $F = 25x+ y :$

F = 25x+ y ≤ 25x+ 200− 20x= 200+ 5x

Отсюда видно, что F принимает тем большее значение, чем больше $x$ (и во вторую очередь чем больше $y$ ). Значит, учитывая ограничение $0≤ x≤ 10$ из исходного неравенства, можем организовать перебор сверху по $x.$ При этом будем следить, чтобы выполнялись условия $y ≥ 2x$ и $y ≤ 120.$