Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5x2 + 2x+ 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

px − (0,5x2 +2x + 6).

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.

При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более чем за 3 года?

По условию прибыль

D = px− (0,5x2 + 2x+ 6) = − 0,5x2 + x(p− 2)− 6.

Так как $D (x)$ — квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом при квадрате переменной, наибольшее значение достигается в его вершине, т. е. $x = -p−-2-= p− 2 2⋅0,5$ При этом ежегодная прибыль

2 2 (p − 2)2 D = − 0,5(p− 2) + (p− 2) − 6 =--2----− 6

Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если

$( ) (p-−-2)2- 2 − 6$ ⋅ 3 ≥ 78 ⇔ p² − 4p − 60 ≥ 0 ⇔ p ∈ (−∞;−6] ∪ [10;+∞).

Отсюда следует, что наименьшее значение $p = 10$ .