Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №11

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 26 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах.

Если на строительстве первого дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $3t2$ денежных единиц. Если на строительстве второго дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $4t2$ денежных единиц. Дополнительные суточные накладные расходы, то есть транспорт, питание и тому подобное, обходятся в 4 денежных единицы в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 денежных единицы при строительстве второго дома.

Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание, то есть суточная зарплата и суточные накладные расходы, оказались наименьшими? Сколько денежных единиц в сумме при таком распределении составят все суточные затраты, то есть зарплата и накладные расходы?

Обозначим через $x$ количество рабочих, отправленных на строительство первого дома, тогда оставшиеся $26 − x$ будут отправлены на строительство второго дома. Тогда суточные затраты на первую бригаду составят

S1 = 3x2+ 4x

Суточные затраты на вторую бригаду составят

2 2 S2 = 4(26− x) + 3(26 − x) =4x − 211x+ 2782

Нам нужно минимизировать суммарные суточные расходы на две бригады, то есть минимизировать сумму

2 2 2 f(x)= S1+ S2 =(3x + 4x)+ (4x − 211x+ 2782) =7x − 207x+ 2782

на отрезке $[0;26],$ так как $x$ может принимать только целые значения из этого отрезка. График функции $f(x)= 7x2− 207x + 2782$ — это парабола ветвями вверх с вершиной в точке

x0 = − −-207= 207 =1411 2⋅7 14 14

Точка $x0$ принадлежит интересующему нас отрезку, она является глобальным минимумом параболы. Нас же интересует минимум в целой точке, он достигается в одной из двух ближайших к $x0$ целых точек: 14 (ближайшая слева) или 15 (ближайшая справа).

Расстояние от 14 до $x0$ равно $1114,$ расстояние от 15 до $x0$ равно $134.$ Мы знаем, что чем дальше от вершины мы отклонимся, тем больше будет значение функции $f,$ следовательно, наименьшее значение достигается в точке 15, которая ближе к $x0.$ Можно было просто подставить обе точки в $f$ и найти наименьшее значение. Получаем, что минимальные суммарные суточные затраты составляют

2 f(15)= 7⋅15 − 207 ⋅15 +2782= 1252