Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Федор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. Если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $25t3$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ изделий. Если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t3$ часов в неделю, то они производят $t$ изделий. За каждый час работы на каждом из заводов Федор платит рабочему 360 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 изделий. Какую наименьшую в млн рублей сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Час работы стоит одинаково независимо от того, на каком заводе он выполнен, следовательно, минимизация затрат равносильна минимизации общего числа часов работы. Обозначим через $x$ количество изделий, которые производит первый завод, тогда второй завод должен производить $30 − x$ изделий. Тогда количество часов, необходимое для производства этих изделий, составит

f(x)= 25x3 +(30− x)3 = 24x3 +90x2− 2700x+ 27000

Нам нужно минимизировать эту функцию на отрезке $[0;30],$ так как $x$ может принимать только целые значения из этого отрезка. Найдем производную $f′$ и ее нули:

f′(x)= 72x2+ 180x − 2700 2 72x +⌊ 180x− 2700= 0 x = −7,5 ⌈ x = 5

При $x∈ (−7,5;5)$ производная отрицательна, следовательно, $f$ убывает; при $x >5 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5335-10.svg» width=»auto»> производная положительна, следовательно <img decoding=$ возрастает. Таким образом, на отрезке $[0;30]$ функция $f$ убывает на $[0;5)$ и возрастает на $(5;30],$ значит, ее минимум достигается при $x= 5.$ Тогда минимальные еженедельные затраты на зарплату составляют

3 2 360⋅f(5) =360⋅(24⋅5 + 90⋅5 − 2700 ⋅5+ 27000)= 6750000