Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения величины» №1

Просмотров 7 Комментарии 0

В прямоугольной комнате площадью 42 $м2$ требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 280 рублей. При каких целых линейных размерах комнаты в метрах затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?

Первый способ.

Пусть ширина комнаты равна $a$ м, а длина — $b$ м. Тогда $a⋅b= 42$ и $42 a= b .$ Запишем, сколько составят затраты в рублях на плинтус:

( ) Sum = 280⋅2(a+ b)= 280 ⋅2 b+ 42 b

Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения $b+ 42. b$ Рассмотрим функцию $f(x)= x+ 42. x$ Найдем ее производную: $f′(x) =1 − 422. x$ Приравняем производную к нулю:

′ √ -- f (x) =0 ⇒ x= ± 42

Так как $0< x ≤ 42,$ потому что это ширина комнаты площадью 42 $м2,$ то при $-- 0< x < √42$ функция $f(x)$ убывает, а при $√ -- 42< x≤ 42$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в точке $√ -- x= 42.$ Но так как $x$ — целое, а $√ -- 6 < 42< 7,$ то наименьшее значение будет достигаться либо при $x= 6,$ либо при $x= 7.$