Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $( ) y = ----2----⋅ ln(− 6x − 1) − --5---- ln (5) + 1 6x + 1$ .

ОДЗ: $6x + 1 < 0$ .

( ) ′ ---2----- ---− 6--- ----30--- ----72--- --x-+-1-- y = ln (5 ) + 1 ⋅ − 6x − 1 + (6x + 1 )2 = ln(5) + 1 ⋅(6x + 1)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

72 x + 1 ---------⋅ ---------= 0 ⇔ x = − 1. ln(5) + 1 (6x + 1)2

Производная не существует при $1 x ≥ − -- 6$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в $x = − 1$ .

( ) ----2---- -5- y(− 1) = ln (5) + 1 ⋅ ln(5) − − 5 = 2.

Итого: $2$ – наименьшее значение функции $y$ .