Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $x−2 x−-4- y = e ⋅ x$ на отрезке $[1;4].$

Найдем ОДЗ: $x⁄= 0$ .

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

1) Вычислим производную:

( ) y′ = ex− 2⋅ x−-4-+ex−2⋅ x-− (x-− 4) = x x2

x−2 ( x− 4 4) ex−2 2 =e ⋅ -x--+ x2 = -x2-⋅(x − 4x+ 4)

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

ex−2 2 2 x2 ⋅(x − 4x+ 4)= 0 ⇔ x − 4x+ 4= 0

откуда находим корень $x = 2$ . Производная не существует при $x= 0$ , но эта точка не входит в ОДЗ.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PICT$

3) Эскиз графика $y$ на отрезке $[1;4]$ :

$PIC$

Таким образом, функция $y$ достигает наибольшего на отрезке $[1;4]$ значения в точке $x= 4$ :

4−2 4−-4 y(4)= e ⋅ 4 = 0