Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $√ -- y = 0,5x + 0,5ln(2x2 + 1) + --2-⋅ arctg(√2x-) 4$ на промежутке $[− 2;0]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

√ -- ′ 4x 2 1 √ -- x2 + 2x + 1 y = 0,5 + 0,5 ⋅--2-----+ ----⋅-----√----2 ⋅ 2 = -----2------ 2x + 1 4 1 + ( 2x ) 2x + 1

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 x--+-2x-+-1- 2 2x2 + 1 = 0 ⇔ (x + 1) = 0 ⇔ x = − 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом промежутке $[− 2;0]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 2;0 ]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 2;0]$ значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = 0 + 0 + 0 = 0.

Итого: $0$ – наибольшее значение функции $y$ на промежутке $[− 2;0]$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций