Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $√ -- y = ---2--⋅ x +-1- π-+ 1 sin x 4$ на полуинтервале $( ] 0; π 4$ .

ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ – выполнено на $( π ] 0;-- 4$ . Решим на ОДЗ:

√2- (x + 1)′ ⋅ sinx − (sinx )′ ⋅ (x + 1) √2-- sin x − (x + 1)cos x y′ = π----- ⋅----------------2---------------= π-----⋅ ---------2---------. -- + 1 sin x --+ 1 sin x 4 4

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√ -- ---2-- sin-x −-(x-+-1-)cosx- π- ⋅ sin2x = 0 ⇔ sin x − (x + 1 )cosx = 0 4 + 1

– на $( π ] 0;-- 4$ . При этом на $( π ] 0;-- 4$ имеем: $x + 1 ≥ 1$ , $cos x > 0 » class=»math» width=»auto»>, тогда <img decoding=$ , но на $( π] 0;-- 4$ выполнено $sinx ≤ cosx$ , причём равенство $sin x = cos x$ достигается только при $π x = -- 4$ , следовательно, у уравнения

sin x − (x + 1 )cosx = 0

решением может быть только $π x = -- 4$ , но и оно не подходит, то есть производная исходной функции не обращается в $0$ на рассматриваемом полуинтервале. При этом на $( π] 0; -- 4$ производная $y ′$ всюду существует, тогда эта производная всюду на $( π ] 0;-- 4$ имеет один и тот же знак.

Так как

( ) √ -- ( ) √ -- ( ) √ -- sin π-− π-+ 1 cos π- √ -- --2-− π-+ 1 --2- ′ π- ---2-- ---4-----4----------4- ---2-- -2------4-------2-- y 4 = π- ⋅ 2 π- = π- ⋅ 1- = 4 + 1 sin 4 4 + 1 2 √ -- ( √ -) = ---2--⋅ − π---2 < 0, π-+ 1 4 4

то на полуинтервале $( π] 0; -- 4$ производная исходной функции отрицательна и на этом полуинтервале исходная функция убывает.

Тогда наименьшего значения функция достигает в $π x = -- 4$ :

( ) √ -- π-+ 1 √-- π-+ 1 y π- = ----2- ⋅4----- = ---2-- ⋅4√---- = 2 4 π-+ 1 sin π- π- + 1 2 4 4 4 ---- 2