Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = (0, 5x2 − 6,5x + 13,25)e2x+3$ на отрезке $[− 1, 5;2,5]$ .

y′ = (x − 6,5)e2x+3 + 2e2x+3 (0, 5x2 − 6,5x + 13,25) = e2x+3(x2 − 12x + 20).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x+3 2 2 e (x − 12x + 20) = 0 ⇔ x − 12x + 20 = 0

(так как при любом $x$ выражение $e2x+3 > 0 » class=»math» width=»auto»>), откуда находим корни <img decoding=$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 1, 5;2,5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 1,5;2, 5]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшее значение на отрезке $[− 1,5;2,5]$ функция $y$ достигает или в $x = − 1, 5$ , или в $x = 2,5$ . Сравним эти значения:

$y(− 1, 5) = (0, 5 ⋅ 2,25 + 6, 5 ⋅ 1,5 + 13, 25)e−3+3 = 24,125 ⋅ e0 = 24,125$ ,

$y(2,5) = (0,5 ⋅ 6,25 − 6,5 ⋅ 2,5 + 13,25)e5+3 = 0,125 ⋅ e8$ .

Остаётся сравнить данные значения: так как $e > 2 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ – наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[− 1,5;2,5]$ .