Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции

√ -- √ -- y = 6 cosx + 3 3x − π 3 + ln e

на промежутке $[ π ] 0;-- 2$ .

Изобразим схематично график функции, для этого найдем промежутки возрастания и убывания функции на отрезке $[ ] 0; π- 2$ . Также заметим, что $lne = log e = 1 e$ .
Найдем производную: $√ -- y′ = − 6 sin x + 3 3$ . Значит:

√ -- 3 π 2π y′ = 0 ⇒ sin x = ---- ⇒ x = --+ 2πn или x = ---+ 2πn,n ∈ ℤ 2 3 3

Найдем знаки производной на промежутке $[ ] 0; π- 2$ :

$PIC$

Таким образом, схематично функция $y$ выглядит на промежутке $[ ] π- 0;2$ так:

$PIC$

То есть функция возрастает от $x = 0$ до $π- x = 3$ и убывает от $π- x = 3$ до $π- x = 2$ . Следовательно, свое наибольшее значение на этом промежутке она принимает в точке $x = π- 3$ :

( π) y -- = 4. 3