Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $2x2 y = − --e----- 2x2 + 1$ на промежутке $[− 1;1]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

′ e2x2 ⋅ 4x ⋅ (2x2 + 1) − 4x ⋅ e2x2 x3e2x2 y = − -------------2----2---------- = − 8 ⋅---2-----2 (2x + 1) (2x + 1)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 --x3e2x--- − 8 ⋅(2x2 + 1)2 = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $[− 1;1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 1;1 ]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 1;1]$ значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = − 1-= − 1. 1

Итого: $− 1$ – наибольшее значение функции $y$ на промежутке $[− 1;1 ]$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций