Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $9 y = 2x − -------+ 5 ln(− 4x − 3) 8x + 6$ на промежутке $[− 2;− 0,75)$ .

ОДЗ: $4x + 3 < 0$ .

′ ---72---- --20--- 2(4x-+-3)2 +-18 +-20(4x-+-3)- x2-+-4x-+-3- y = 2 + (8x + 6)2 + 4x + 3 = (4x + 3)2 = 32 ⋅ (4x + 3 )2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

[ x2 +-4x +-3- x = − 1 32 ⋅ (4x + 3)2 = 0 ⇔ x = − 3

Производная не существует при $x ≥ − 0,75$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $[− 2;− 0,75)$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 2;− 0,75 )$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в $x = − 1$ .

y(− 1) = − 2 − ---9---+ 5ln(4 − 3) = 2,5. − 8 + 6

Итого: $2,5$ – наименьшее значение функции $y$ на промежутке $[− 2;− 0,75)$ .