Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $2 x y = 3e 3+x ⋅----4- x − 3$ на $[− 1;1]$ .

ОДЗ: $4 x ⁄= -- 3$ . Решим на ОДЗ:

( 4 ) ( 4 ) 2+x ( ) y′ = 3 e23+x ⋅--x---+ e 23+x ⋅ x-−-3-−-x = 3e23+x ⋅ --x---+ x-−-3-−-x- = 3--e3---- ⋅ x2 − 4x − 4- . x − 43 (x − 43)2 x − 43 (x − 43)2 (x − 43)2 3 3

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 ( ) --e3+x-- 2 4- 4- 2 4- 4- (x − 4)2 ⋅ x − 3x − 3 = 0 ⇔ x − 3 x − 3 = 0 3

(так как на ОДЗ выражение $e 23+x -----4-2 (x − 3)$ отлично от $0$ ), откуда находим корни $2 x1 = 2, x2 = − -- 3$ .

Производная функции $y$ не существует при $4 x = -- 3$ , но $4 x = -- 3$ не входит в ОДЗ.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 1; 1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 1;1]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшее значение на отрезке $[− 1;1]$ функция $y$ достигает в $x = − 2- 3$ :

$( ) 2 y − 2- = 3e23− 23 ⋅--−-3---= 3e0 ⋅ 1-= 1 3 − 23 − 43 3$ .

Итого: $1$ – наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[− 1;1]$ .