Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $y =√2 ⋅√x2-+1-$ на отрезке $[−1;1].$

1) Найдем производную:

√- √ - y′ = 2 ⋅-√2x2----= 2⋅√--x2--- 2 x + 1 x + 1

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

√- √-x---- 2 ⋅ x2+ 1 = 0 ⇔ x= 0

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[−1;1]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 1;1]:$

$PIC$

Таким образом, наибольшего на отрезке $[−1;1]$ значения функция $y$ достигает в точке $x =− 1$ или в точке $x = 1.$ Сравним значения функции в этих точках:

√ - √---- √ - √- y(−1)= 2⋅ 1+ 1 = 2⋅ 2 = 2 √ - √---- √- √ - y(1)= 2⋅ 1 +1 = 2⋅ 2= 2

Тогда наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[−1;1]$ равно 2.

Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций