Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции

y = ex2− 4

на отрезке $[− 10;− 2]$ .

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную:

y′ = 2x ⋅ ex2−4

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

x2− 4 2x ⋅ e = 0 ⇔ x = 0

Таким образом, $y′ = 0$ при $x = 0$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y ′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего на отрезке $[− 10;− 2]$ значения функция достигает в точке $x = − 2$ .

Тогда $y (− 2) = e4−4 = 1$ — наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций