Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции

$√- y = ecosx+sinx− 2$ .

1) Обозначим $√ -- cos x + sin x − 2 = t(x)$ , тогда $y(t) = et$ .

√ -- √- y′ = y′t ⋅ t′x = (et)′ ⋅ (cosx + sin x − 2)′ = et ⋅ (− sin x + cosx ) = ecosx+sin x− 2 ⋅ (− sin x + cosx).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√- ecosx+sinx− 2 ⋅ (− sin x + cosx ) = 0 ⇔ − sinx + cos x = 0

(так как $√- ecosx+sinx− 2 = et$ , но $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), что равносильно $tgx = 1$ при $cos x ⁄= 0$ , откуда находим корни $x = π-+ πk, k ∈ − ℤ 4$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ : (их бесконечно много, но они чередуются)

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $π x = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ$ – точки локальных максимумов функции $y$ и наибольшее значение достигается в одной из них:

$( π- ) cos(π4+2πk)+sin(π4+2πk)−√2 √2-+√2−√2- 0 y 4 + 2πk = e = e 2 2 = e = 1$ .

Итого: $1$ – наибольшее значение функции $y$ .