Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = e−10(ln x − 11)x$ на $[e9;e12]$ .

ОДЗ: $x > 0 » class=»math» width=»auto»>. Решим на ОДЗ: </p> <p class=$ Заметим, что $e−10$ — просто число, тогда

1) $y ′ = e−10((ln x − 11)′ ⋅ x + (ln x − 11) ⋅ x ′) = e−10(1 + ln x − 11) = e− 10(lnx − 10 )$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

y′ = 0 ⇔ e −10(ln x − 10) = 0 ⇔ (ln x − 10) = 0

(так как $−10 e > 0 » class=»math» width=»auto»> и на это число можно поделить), откуда находим корень <img decoding=$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[e9;e12]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[e9;e12]$ :

$PIC$

Таким образом, $10 x = e$ — точка минимума функции $y$ на $9 12 [e ;e ]$ и наименьшее значение функция достигает в ней.

$y(e10) = e− 10(10 − 11)e10 = − 1$ .

Итого: $− 1$ – наименьшее значение функции $y$ на $[e9;e12]$ .