Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции

y = 2x2 ⋅ ex − 3

1) Найдем производную:

y′ = 4x ⋅ ex + 2x2 ⋅ ex = 2x (x + 2) ⋅ ex

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

x 2x(x + 2) ⋅ e = 0 ⇔ x(x + 2) = 0

откуда находим корни $x1 = − 2$ , $x2 = 0$ . Производная функции $y$ существует при любом $x$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

По полученному эскизу нельзя сказать наверняка, действительно ли в точке локального минимума $x = 0$ значение функции наименьшее, или же при каком-то отрицательном $x$ значение функции окажется меньше, чем при $x = 0$ . Найдём $y (0)$ :

y(0) = 2 ⋅ 0 ⋅ e0 − 3 = − 3

Рассмотрим произвольное $x0 < 0$ , тогда

y(x0) = 2x02 ⋅ ex0 − 3

Поскольку $2 x0 ≥ 0$ и $x0 e ≥ 0$ , то

2 x0 y(x0) = 2x0 ⋅ e − 3 ≥ 0 − 3 ≥ − 3

и наименьшее значение функции $y$ равно $y(0) = − 3$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения