Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции

x y = x ⋅e ⋅e− 11

1) Найдем производную:

′ x x x+1 y = e ⋅e+ x ⋅e ⋅e = (x+ 1)⋅e

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

y′ = 0 ⇔ (x+ 1)⋅ex+1 = 0 ⇔ x = − 1

(так как $et > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1514-4.svg» width=»auto»> при любом <img decoding=$ и на этот множитель можно поделить обе части уравнения).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ — точка минимума и наименьшее значение функции $y$ равно

y(− 1) = − 1⋅e−1 ⋅e− 11 = − 1− 11 = − 12