Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = (x2 − 14x+ 34)ex$ на отрезке $[0;2,5].$

1) Найдем производную:

′ x x 2 y =(2x− 14)e + e(x − 14x+ 34)= = ex(x2 − 12x+ 20)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

y′ = 0 ex(x2− 12x+ 20)= 0 2 x − 12x+ 20= 0

Отсюда находим корни $x1 = 2,$ $x2 = 10.$ Таким образом,

′ x y = e (x − 2)(x− 10)

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[0;2,5]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[0;2,5]:$

$PIC$

Таким образом, $x = 2$ — точка локального максимума функции $y$ и наименьшего значение на отрезке $[0;2,5]$ функция достигает в точке $x = 0$ или в точке $x = 2,5.$ Сравним значения функции в этих точках:

0 y(0)= 34⋅e = 34 y(2,5)= (6,25− 35+ 34)e2,5 =5,25⋅e2,5

Так как e> 2,7, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-320-22.svg» width=»auto»> то </p>
<div class= 5,25 ⋅e2,5 > 5,25⋅2,72,5 >5,25⋅2,72 = 38,2725 >34 = y(0) » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-320-23.svg» width=»auto»></div>
<p class= Тогда наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[0;2,5]$ равно 34.