Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = (− 2x + 1) ⋅ e−x ⋅ e1,5$ .

1) $y′ = − 2e −x ⋅ e1,5 − (− 2x + 1) ⋅ e−x ⋅ e1,5 = (2x − 3) ⋅ e−x+1,5$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+1,5 y = 0 ⇔ (2x − 3) ⋅ e = 0 ⇔ x = 1,5

(так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1,5$ – точка минимума функции $y$ .
$0 y(1,5 ) = − 2 ⋅ e = − 2$ ,

Итого: наименьшее значение функции $y$ равно $− 2$ .