Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $1 y = (3x + 2) ⋅ e−x ⋅ e3$ .

1) $1 1 1 y′ = 3e−x ⋅ e3 − (3x + 2) ⋅ e−x ⋅ e 3 = (− 3x + 1) ⋅ e− x+ 3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+1 1 y = 0 ⇔ (− 3x + 1) ⋅ e 3 = 0 ⇔ x = 3-

(так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $1 x = -- 3$ – точка максимума функции $y$ .
$( ) y 1- = 3 ⋅ e0 = 3 3$ ,

Итого: наибольшее значение функции $y$ равно $3$ .