Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = (2 − x ) ⋅ e−x ⋅ e3 − 2$ .

1) $y′ = − e −x ⋅ e3 − (2 − x) ⋅ e−x ⋅ e3 = (x − 3) ⋅ e− x+3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+3 y = 0 ⇔ (x − 3) ⋅ e = 0 ⇔ x = 3

(так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 3$ – точка минимума функции $y$ .
$0 y(3) = − 1 ⋅ e − 2 = − 3$ ,

Итого: наименьшее значение функции $y$ равно $− 3$ .