Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №9

Просмотров 4 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 6x2 + 32$ на отрезке $[− 2;5]$ .

1) $y′ = 3x2 − 12x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 12x = 0,

откуда находим корни $x1 = 4, x2 = 0$ . Таким образом,

y′ = 3x (x − 4).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 2; 5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 2;5]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее значение на $[− 2;5]$ функция достигает в $x = 0$ или в $x = 5$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 32$ ,

$y(5) = 125 − 150 + 32 = 7$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[− 2; 5]$ равно $32$ .