Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $4 y = x+ x$ на отрезке $[1;3].$

Найдем ОДЗ: $x⁄= 0.$

1) Найдем производную:

2 y′ = 1 − 42 = x-−24 x x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

x2−-4 2 x2 =0 ⇔ x − 4= 0 — на ОДЗ,

откуда находим корни $x1 = −2,$ $x2 = 2.$ Производная функции $y$ не существует при $x= 0,$ но $x= 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

y′ = (x+-2)(x2-−-2) x

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[1;3]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[1;3]:$

$PIC$

Таким образом, $x = 2$ — точка минимума функции $y$ на отрезке $[1;3]$ и наименьшее значение достигается в этой точке.

Тогда $y(2)= 4$ — наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[1;3].$

Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций