Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее на полуинтервале I значение суммы функций $f(x)$ и $g (f (x))$ , если I $= (− 4;2]$ , $f (t) = t + 1$ , $g(z) = z3 − 4z + 1$ .

$y = f (x) + g(f(x)) = x + 1 + g(x + 1) = x + 1 + (x + 1)3 − 4(x + 1) + 1 = (x + 1)3 − 3(x + 1) + 1$ .

1) $y ′ = 3(x + 1)2 − 3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 3(x + 1) − 3 = 0 ⇔ x + 2x = 0,

откуда $x = 0 1$ , $x = − 2 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом полуинтервале $(− 4;2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на I:

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее на I значение $y$ достигает в ней или в $x = 2$ . Сравним эти значения:
$3 y(− 2) = (− 1) − 3 ⋅ (− 1) + 1 = 3$ ,
$y(2) = 33 − 3 ⋅ 3 + 1 = 19$ .
Итого: наибольшее на I значение суммы $f (x)$ и $g(f(x ))$ равно $19$ .