Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 15x2 + 27x + 1032$ на отрезке $[0;10]$ .

1) $y′ = 3x2 − 30x + 27$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 30x + 27 = 0,

откуда находим корни $x1 = 1, x2 = 9$ . Таким образом,

y′ = 3(x − 1)(x − 9).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 10]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее значение на $[0;10]$ функция достигает либо в $x = 1$ , либо в $x = 10$ . Сравним эти значения:

$y(1) = 1 − 15 + 27 + 1032 = 1045$ ,

$y(10) = 1000 − 1500 + 270 + 1032 = 802$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[0;10]$ равно $1045$ .