Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №14

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее на отрезке I значение разности функций $f (x)$ и $g(x)$ , если I $= [− 5;5]$ , $f (t) = t3 + 12t$ , $g(z) = 12z − 2$ .

$y = f (x) − g(x) = (x3 + 12x) − (12x − 2) = x3 + 2$

1) $y ′ = 3x2$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x = 0 ⇔ x = 0.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 5; 5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 5;5]$ :

$PIC$

Таким образом, у функции $y$ на отрезке I нет точек экстремума и наименьшее значение на I функция достигает в $x = − 5$ (так как $y$ возрастает на I).
$y(− 5) = − 125 + 2 = − 123$ .
Итого: наименьшее значение разности $f (x)$ и $g(x)$ на I равно $− 123$ .