Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $y = 9x1,5 − 9x + 1$ на отрезке $[0;9 ]$ .

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = 9(1,5x0,5 − 1)$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 9(1,5x0,5 − 1) = 0 ⇔ x0,5 = --. 3

Возводя левую и правую части последнего уравнения во вторую степень, получим $4- x = 9$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[0;9]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 9]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4- 9$ – точка локального минимума функции $y$ и наибольшее значение на $[0;9]$ функция достигает в $x = 0$ или в $x = 9$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 1$ ,

$y(9) = 163$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[0;9]$ равно $163$ .