Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $2 y = x-+-x-+--1- x2 + 1$ на отрезке $[− 10;1]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

′ (2x-+-1)(x2-+-1) −-2x-⋅ (x2 +-x-+-1) −-x2-+-1- y = (x2 + 1)2 = (x2 + 1)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 −-x--+-1-= 0 ⇔ − (x-−-1-)(x-+-1)-= 0. (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

Таким образом, $′ y = 0$ при $x = − 1$ и при $x = 1$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 10;1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 10;1]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 10;1]$ значения функция достигает в $x = − 10$ или в $x = 1$ . Сравним значения функции в этих точках.

y (− 10) = 100 −-10 +-1-= -91- y (1 ) = 1 +-1 +-1-= 1,5. 100 + 1 101 1 + 1

Итого: $1,5$ – наибольшее значение функции $y$ на $[− 10; 1]$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного