Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $2 y = 6 ⋅ 2x-+-0,5x-+--1 x + 2$ на отрезке $[0; 10]$ .

ОДЗ: $x + 2 ⁄= 0$ .

1)

′ (4x-+-0,5)(x-+-2)-−-1 ⋅-(2x2-+-0,5x-+-1) 2x2-+-8x- y = 6 ⋅ (x + 2 )2 = 6 ⋅(x + 2)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 6 ⋅ 2x-+-8x- = 0 ⇔ 6 ⋅ 2x(x-+-4)-= 0. (x + 2 )2 (x + 2)2

Таким образом, $′ y = 0$ при $x = 0$ и при $x = − 4$ . Производная не существует при $x = − 2$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[0;10 ]$ значения функция достигает в $x = 10$ .

y(10 ) = 6 ⋅ 200-+-5 +-1-= 103. 10 + 2

Итого: $103$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;10]$ .

Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного