Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции $2 y = 13 ⋅ x-+-3x-+--6 x + 1$ на отрезке $[0;12 ]$ .

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

′ (2x-+-3-)(x-+-1)-−-(x2-+-3x-+-6) x2 +-2x-−-3- y = 13 (x + 1)2 = 13 (x + 1)2 .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 13 x-+-2x-−--3-= 0 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 (x + 1)2

– на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = 1, x2 = − 3$ . Производная функции $y$ не существует при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

(x − 1)(x + 3) y′ = 13--------------. (x + 1)2

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[0;12]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 12]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшее на $[0;12]$ значение функция достигает в $x = 0$ или в $x = 12$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 13 ⋅ 6-= 78 1$ ,

$y(12) = 13 ⋅ 186-= 186 13$ .

Итого: $186$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;12]$ .