Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $x2+-324 y = x$ на отрезке $[2;25].$

Найдем ОДЗ: $x⁄= 0.$

1) Найдем производную:

2 ( 2 ) 2 y′ = 2x--−-x2+-324-= x--− 3224 x x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

x2− 324 2 --x2---= 0 ⇔ x − 324= 0

на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = − 18,$ $x2 = 18.$ Производная существует при всех $x$ из ОДЗ.

Таким образом,

y′ = (x-+18)(x-−-18) x2

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[2;25]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[2;25]:$

$PIC$

Тогда наименьшего значения на отрезке $[2;25]$ функция $y$ достигает в точке минимума $x= 18:$

2 y(18)= 18-+-324= 18+ 18= 36 18

Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного