Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №9

Просмотров 7 Комментарии 0

Дан параллелограмм $ABCD$ . Из вершины острого угла $A$ проведены две прямые, делящие угол на три равные части, причем одна пересекает сторону $BC$ в точке $N$ , а другая – сторону $CD$ в точке $L$ , причем $CN = CL = 2$ . Известно также, что $AB = 5$ . Найдите $AN + AL$ .

$PIC$

Пусть $Y$ – точка пересечения прямых $AN$ и $CD$ , а $T$ – прямых $AL$ и $BC$ . Пусть $1 3 ∠A = α$ .
$∠CT L = ∠DAL = α$ как накрест лежащие при $AD ∥ BC$ и секущей $AT$ . Также $∠CY N = ∠BAN = α$ как накрест лежащие при $AB ∥ CD$ и секущей $AY$ . Заметим, что $∠N CY = ∠LCT$ как вертикальные. Следовательно, в $△N CY$ и $△LCT$ равны два угла, следовательно, равны и третьи углы. Также у них $N C = LC$ , следовательно, по признаку “сторона и два прилежащих угла” эти треугольники равны. Значит, $CY = CT$ и $N Y = LT$ .
Тогда $△AN T = △ALY$ , так как $N T = LY$ и прилежащие углы равны ( $∠N T A = ∠LY A = α$ по доказанному, $∠AN T = ∠ALY = 180 ∘ − 2α$ ). Отсюда $AL = AN = N T = LY$ .
Тогда $△ABN = △ADL$ по этому же признаку ( $∠BAN = ∠DAL = α$ , $∠ABN = ∠ADL$ как противоположные углы параллелограмма $⇒$ $∠AN B = ∠ALD$ ). Значит, $AD = AB = 5$ . Следовательно, $ABCD$ – ромб. Отсюда $BN = 5 − 2 = 3$ .

$PIC$

Заметим, что $△ABN ∼ △Y CN$ по двум углам, следовательно,

AB BN 5 3 10 ---- = ---- ⇒ ----= -- ⇒ CY = --. CY CN CY 2 3

Тогда по доказанному выше $AN = AL = LY = 2 + 130= 136.$ Тогда

AN + AL = 32. 3