Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ — медиана, точка $N$ лежит на $CM$ так, что $CN :CM = 1 :4.$ Отрезок $AK$ проходит через точку $N,$ причём точка $K$ лежит на стороне $BC.$ Найдите отношение $KB :CK.$

$PIC$

Построим $MP ∥AK :$

$PIC$

Обозначим $KP = x,$ $CK = y.$

Способ 1.

Так как $MP$ — средняя линия в треугольнике $ABK,$ то $BP =x.$

Треугольники $CKN$ и $CP M$ подобны по двум углам: $∠MCP$ — общий, $∠CNK =∠CMP,$ как соответственные при параллельных прямых и секущей, тогда

CN--= CK- ⇒ 1 = --y-- ⇒ 4= y+-x- ⇒ x =3 CM CP 4 y+ x y y

Так как $KB =2x,$ то имеем:

2x x KB :CK = y-= 2⋅y = 2⋅3 =6

Способ 2.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $∠MCP$ и секущих прямых $MP$ и $NK$ имеем:

1 -CN- CK- y 3 = NM = KP = x ⇒ x =3y

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $∠ABK$ и секущих прямых $MP$ и $AK$ имеем:

1 = BM--= BP- = BP- ⇒ BP = x MA PK x

Тогда получаем

x+ x 6y KB :CK = -y---= y-= 6

Способ 3.

Так как $CN :CM = 1:4,$ то $CN :NM = 1:3.$ Кроме того, $MA :AB = 1:2,$ так как точка $M$ — середина $AB.$ Тогда по теореме Менелая для треугольника $MBC$ и секущей $NK$ имеем:

BK-⋅-CN- ⋅ MA-=1 KC NM AB BK-- 1 1 KC ⋅3 ⋅ 2 = 1

Отсюда получаем $KB :CK = 6:1= 6.$

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки