Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №7

Просмотров 21 Комментарии 0

В треугольник со стороной $a = 10$ и высотой $6$ , проведенной к этой стороне, вписан квадрат таким образом, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне $a$ , а две другие вершины квадрата лежат на двух других сторонах треугольника соответственно. Найдите периметр квадрата.

$PIC$

Рассмотрим рисунок.
Пусть $AC = 10$ , $BH = 6$ – высота, $M N KL$ – квадрат со стороной $x$ . Необходимо найти $4x$ .
Так как $N K ∥ M L$ , то $N K ∥ AC$ . Так как $N M ⊥ AC$ и $BH ⊥ AC$ , то $N M ∥ BH$ . Так как отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны, то $N M = F H = x$ . Следовательно, $BF = 6 − x$ . Заметим, что $∠BKN = ∠BCA$ как соответственные при $N K ∥ AC$ и $BC$ секущей. Следовательно, $△BKF ∼ △BCH$ по двум углам. Значит,