Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №5

Просмотров 8 Комментарии 0

$BB1$ и $CC1$ – биссектрисы углом $B$ и $C$ соответственно треугольника $ABC$ . На продолжениях сторон $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $L$ так, что $BM = BC = CL$ . Доказать, что $M L ∥ B1C1$ .

(Задача от подписчиков)

Пусть $∠ABC = 2α$ , а $∠ACB = 2β$ . Тогда $∠M BC = 180∘ − 2α$ и $∠LCB = 180∘ − 2β$ . Так как $△M BC$ равнобедренный, то в нем $∠M = ∠C = 12 (180∘ − ∠M BC ) = α$ . Аналогично в $△LCB$ углы $∠CLB = ∠CBL = β$ .

$PIC$

$∠M BQ = 180 ∘ − 2α − β = ∠BC O 1$ . Следовательно, по двум углам $△M BQ ∼ △C BO 1$ . Следовательно,

C O BO --1-- = ----- (1) BQ M Q

Аналогично $△LCQ ∼ △B1CO$ , следовательно,

CO-- B1O-- LQ = CQ (2)

Заметим, что тогда $△BOC = △BQC$ по двум углам ( $∠OBC = ∠QCB = α$ , $∠OCB = ∠QBC = β$ по доказанному выше) и общей стороне. Следовательно, $BQ = CO$ , $CQ = BO$ . Значит, перемножив равенства $(1)$ и $(2)$ , получим:

C O ⋅ CO B O ⋅ BO C O B O -1--------= -1-------- ⇒ -1---= -1--- (3 ) BQ ⋅ LQ M Q ⋅ CQ LQ M Q

Заметим также, что $∠B OC = ∠BOC = ∠BQC = ∠M QL (∗) 1 1$ .

$PIC$

Следовательно, по двум пропорциональным сторонам (из $(3)$ ) и углу между ними $△B1OC1 ∼ △M QL$ , откуда

∠OB C = ∠QM L = x, ∠OC B = ∠QLM = y 1 1 1 1

Отсюда $∠C1B1C + ∠M LC = x + (180 ∘ − α − 2β) + y + β = 180 ∘ + x + y − α − β$ .
Но из $(∗)$ следует, что $180 ∘ − α − β = ∠BOC = ∠M QL = 180 ∘ − x − y$ , откуда следует, что $x + y = α + β$ . Следовательно,

∠C B C + ∠M LC = 180∘ 1 1

Следовательно, это односторонние углы при прямых $B1C1$ и $M L$ и секущей $AL$ , значит, $B1C1 ∥ M L$ .