Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Окружность касается одного из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен $-- √ 2 + 1$ .

(Источник: Сборник задач по геометрии, И.Ф.Шарыгин, Р.К.Гордин)

В решении будем обозначать катет треугольника за $a$ . Пусть $r$ – радиус окружности. Если $K$ – точка касания окружности с катетом $BC$ , то $OK ⊥ BC$ . Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Заметим, что по двум углам $△BOK ∼ △BAC$ , следовательно,

OK-- = BK-- AC BC

Так как $AC = BC$ , то $OK = BK = r$ .
По теореме Пифагора $√ -- AB = 2a$ . Так как $O$ лежит на $AB$ , то $AO = r$ , следовательно, $√ -- OB = 2a − r$ .
Тогда по теореме Пифагора из $△BOK$ :

√ -- 2 2 2 √ -- 2 2 2 ----2-- √ --√ -- OB = OK + BK ⇒ ( 2a − r) = r + r ⇔ r = √2-+ 1a = 2( 2 − 1)a.

Так как $a = √2-+ 1$ , то получаем

√--√ -- √ -- √ -- r = 2 ( 2 − 1)( 2 + 1) = 2.