Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №2

Просмотров 9 Комментарии 0

Дан равнобедренный треугольник, основание которого относится к боковой стороне как $4 : 3$ . Найдите отношение, в котором точка касания вписанной в треугольник окружности и боковой стороны делит эту боковую сторону.

Центр вписанной в $△ABC$ окружности будет лежать на биссектрисе, проведенной к его основанию. Пусть $AC$ – основание, $BH$ – биссектриса, следовательно, высота и медиана. Пусть $K$ – точка касания окружности и $AB$ . Необходимо найти, например, $BK : KA$ .

$PIC$

Если обозначить $AC = 4x$ , $AB = 3x$ , то $AH = 2x$ . Заметим, что по двум углам $△BKO ∼ △ABH$ ( $∠B$ – общий, а также оба прямоугольные). Следовательно,

BK BO KO ---- = ---- = ---- BH AB AH

Обозначим радиус окружности за $r$ , то есть $KO = OH = r$ . Также по теореме Пифагора $√ ------------ √ -- BH = AB2 − AH2 = 5x$ . Следовательно, $√ -- BO = 5x − r$ . Тогда

√-- √ -- r 5x − r 2 5 2x-= --3x----- ⇔ r = --5--x.

Следовательно,

√ -- BK = KO--⋅ BH--= r ⋅-5x-= x ⇒ KA = 3x − x = 2x. AH 2x

Следовательно,

BK : KA = 1 : 2.